2011全国高中数学联赛陕西省预赛第8题

∩_∩泡泡 2023-03-20 17:41

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  ③厘米蔚蓝

  2023-03-20 18:28

  2011全国高中数学联赛陕西省预赛第8题已知p、q都是质数,且7p+q和2q+11也都是质数.求p^q+q^p的值.答案中讨论q=3k+1,q=3k+2,为什么要这样设?以后解题的时候我又怎么知道该如何设?另外,3k+n和4k+n的关系究竟该怎么讨论?求大神指教,

  因为2q+11是质数,所以3不是它的约数,当q不是3的时候,q是质数,则q=3k+1,q=3k+2,而当q=3k+2时,2q+11=6k+15是3的倍数,所以可以设q=3k+1.

  本题的解答第一是要能看出PQ中一定有一个偶数,否则7p+q是偶数,不会是质数了,所以pq中一定有一个是2.第二点,就是前面的分析,如果q不是3,一定就不是2,是q=3k+1的形式.从而确定p=2.

  再把q=3k+1,p=2代入7p+q=15+3k是3的倍数,得到矛盾.确定q=3.

  2是唯一的偶质数,在解质数类问题中常用!

  3k+1,3k+2,3k,是3的一个同余系的设法.

  在本题中,要求的式子和题设关联不大,其实就是提问pq的值是多少,而且这个值肯定不大,从2和3入手是最佳点.

  7p+q为质数

  质数末尾为奇数(2除外)

  若pq为非2时 7p+q为偶数

  故pq中定有一数为2

  若p=2

  q+14为质数

  2q+11为质数

  令q=2k+1

  则2k+15为质数

  4k+13为质数

  无确定解

  令q=3k(k=1) 或 3k+1 或 3k+2

  则 3k+15 非质
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