已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx），x∈R．

0o哒丫梨o0 2023-03-20 21:37

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  _melody_200

  2023-03-20 21:47

  已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称中心；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．

  解题思路：（Ⅰ）利用辅助角公式将y=2cosx（sinx+cosx）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求得其对称中心坐标．（Ⅱ）利用x的范围，求出相位的范围，将式子Asin（wx+∅）中的wx+∅看成整体，结合正弦函数的图象求Asin（wx+∅）最大最小值．

  （本小题满分12分）

  （I）函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-1=

  2sin（2x-[π/4]）-1，

  因此，函数f（x）图象的对称中心为（[kπ/2+

  π

  8，-1），k∈Z．

  （Ⅱ）因为f（x）=

  2]sin（2x-[π/4]）在区间[

  π

  8，

  3π

  8]上为增函数，在区间[

  3π

  8，

  3π

  4]上为减函数，

  又f（x）=-1，f（[3π/8]）=

  2-1，

  f（[3π/4]）=

  2sin（[3π/2]-[π/4]）-1=-2

  故函数f（x）在区间[

  π

  8，

  3π

  4]上的最大值为

  2-1，最小值为-2．

  点评：

  本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．

  考点点评： 本题考查两角和与差的正弦函数与余弦函数，着重考查辅助角公式的应用及正弦函数的对称中心，求解函数的最值，属于中档题．
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