设函数f(x)=(a-sinx)(cosx+a),x属于[0,pai/2],是否存在常数a,使函数f(x)的最小值为-1

_7花月夜7_ 2023-03-21 05:13

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  _Anemone_

  2023-03-21 05:50

  设函数f(x)=(a-sinx)(cosx+a),x属于[0,pai/2],是否存在常数a,使函数f(x)的最小值为-1/2?若存在求a.

  f(x)=(a-sinx)(cosx+a)=acosx+a^2-sinxcosx-asinx

  =a(cosx-sinx)-sinxcosx+a^2

  =a(cosx-sinx)-[1-(cosx-sinx)^2]/2+a^2

  =(cosx-sinx)^2/2+a(cosx-sinx)+a^2-1/2

  =(1/2)[(cosx-sinx)+a]^2+(a^2-1)/2

  因为x属于[0,pai/2]

  又因为cosx-sinx=(根号2)cos(x+pi/4)

  所以cosx-sinx的范围是[-1,1]

  所以当a=sinx-cosx时,f(x)最小值为(a^2-1)/2=-1/2

  此时a=0

  那么sinx-cosx=0在[-1,1]的范围内,这个值取的到.

  所以a=0
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