量词的辖域指一量词后的最短公式，表示一个量词在一个公式中的作用范围。例如,在公式 (∨y)【(凬x)F(x)→G(y)】中，(凬x)的辖域是公式F(x)，(凬y)的辖域是公式【(凬x)F(x)→G(y)】。 变元α在来自一个公式A中的某次出现是约束出现，如果α的这次出现是在(凬α)中或（凬α）的辖域中；α在一公式 A中的某次出现是自由出现，如果α在A中的这次出现不是约束的。例如，在公式(凬y)【(凬(x)F(x)→G(y)】中, 光主料尔x和y的两次出现都是约束的；在公式【(凬x)F(x)→G(y)】中,x的两次出现是约束的,y的唯一一次出现是自由的。个体变元α可以在A中既有约束出现又有自由出现, 例如, (凬α)F(x)→G(x)。如果个体变元α在A中自由或约束出现,它在A中就是自由或约束出现的。δ对A解(α)中的α是自由的, 如果深演子实河轻在A(α)中α的自由出现不在(凬δ)的辖360问答域中。F的公理有无穷多条，并由5个公理图式给出，每个图式都代表无穷多条公理。公理图式用语法变元陈述这5个公理图式是：① A→住察振源振(B→A);② 【A→(B→C)】→【(A→B)→(A→C)】;③ (塡A→塡B)→绝易历(C塡A→B→A);④ (凬α)(A→B)→【A→(凬界α)B】，如果α在A掉银中没有自由出现。⑤ (凬α)A(α)→阶A(δ),如果δ对A(α)中的α是自由的。该图式的A(α)是一合式公式,α是在其中有自由出现的个体变元，A(δ)则是用δ代替α在A欢工(α)中的每处自由出现而得的公式。根据④以下的公式都厚房值法刘即是公理：(凬x)【F(y)→G(x,y)】→【F(天y)→(凬x)G(x,y);(凬x)【(凬x)F(x)坐→F(y)】→【服异送理加银棉孙(凬x)F(x)→(凬y)F(y)】。但公式(凬x)【F(x)→G(x,y)】→【F(x)→(凬x)G(x,y)】却不是公理，因为它不符合图式④中关于 x在F升牛封今度纸求(x)中没有自由出现的规定。根据图式⑤，以下的公式都是公理：(凬x)F(x)→F(y);(凬y)G(y)→G(y);(凬x)F(x,y)→F(y,y);(凬y)【F(y)→G(x,y)】→【F(y)→(凬y)G(y,y)】。但 (凬x) 【F(x)→(凬y)G(x,y)】→【F(y)→(凬y)G(y,y)】不是公理。因为该公式的y对F(x)→(凬y)G(x,y)中的x不是自由的，不符劳执鲁合图式⑤的条件。变形规则也称推理规则。变形规则的陈述，务推破季每灯奏流器除使用语法变元，还使用语法符号汉突穿频树配儱。符号儱在一个公式的前面，表示紧接在儱后面的公式是定理。例如，儱A,表示A是定理。F的变形规则有两条，即：①分离规则,从A和A→B，可以推出B；②概括规则,从A,可以推出(凬α)A。F中的一个证明，指一有穷公式序列A1,A2, …, An，其中的每一Ak(k=1,2,…,n)或者是一个公理，或者是由公式Ai和 Aj(i,jj=Ai→Ak)应用分离规则而得，或者是由公式Aj(jk=(凬α)Aj。一个证明也可以说是此证明的最后一个公式的证明。 F中的一个公式 B是F的定理，如果B有一个证明，或者说，存在一个证明 A1,A2,…，An，这个证明的最后一个公式An即是 B。根据这个定义，每一公理都是定理，即单独一个公理构成自身的一个证明。一个公式 B，如果存在它的一个证明,就说B是可证明的。一个公式是定理，当且仅当它是可证明的。 一个公式B是由公式A1,A2,…,Am可推演的,记作：A1,A2,…,Am儱B。如果存在一个公式的有穷序列 C1,C2,…,Cn，其中每一 Ck(k=1,…,n)或者是一公理, 或者是A1,…,Am中的一个，或者是由Ci、Cj(i、jj=Ci→Ck)应用分离规则而得,或者是由Cj(jn是B。如m=0，则儱B当且仅当B是一定理。F 的初始符号中不包括∧、∨、凮、ヨ这几个符号,但它们可以通过定义引入，即：(A∨B)定义为(塡A→B)；(A∧B)定义为塡(A→塡B)；(A凮B)定义为(A→B)∧(B→A)；(ヨα)A定义为塡(凬α)塡A。关于谓词演算F,只涉及符号、符号序列、符号序列的变换等等，完全没有涉及符号、公式等的意义。这种不涉及符号、公式等的意义的研究，是语法的研究。定理、可证明性等概念，都是语法概念。而对符号、公式的解释,以及关于公式和它的意义的关系等等,都属于语义的研究。关于 F的解释称为标准解释或标准语义。在这个标准解释下,F的公理图式以及公理本身都是普遍有效的，而变形规则具有保持普遍有效性的性质，即从普遍有效的公式经应用变形规则而得到的公式也是普遍有效的。所以，F的定理都是普遍有效的。
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