（2011•延庆县一模）已知函数 f(x)＝ax(x−2)2−a+1，&(x∈R)．

_DJ___PEbgj° 2023-03-21 09:37

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  ___北执少年

  2023-03-21 10:05

  （2011•延庆县一模）已知函数 f(x)＝ax(x−2)2−a+1，&(x∈R)．（Ⅰ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有极大值[14/9]，求实数a的值．

  解题思路：（Ⅰ）求导函数得：f′（x）=a（x-2）2+2ax（x-2）=a（3x-2）（x-2），f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0得单调增区间，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0得单调减区间，需对a进行讨论；

  （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f(23)＝149；当a＜0时，f(2)＝149，故可得解．

  （Ⅰ）求导函数得：f′（x）=a（x-2）2+2ax（x-2）=a（3x-2）（x-2）

  当a＞0时，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0，

  ∴函数的单调增区间为(−∞，

  2

  3)，(2，+∞)，

  f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0，

  ∴函数的单调减区间为(

  2

  3，2)

  当a＜0时，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0，

  ∴函数的单调增区间为(

  2

  3，2)，

  f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0，

  ∴函数的单调减区间为(−∞，

  2

  3)，(2，+∞)，

  （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，函数在x=[2/3]时，取得极大值，所以f(

  2

  3)＝

  14

  9，

  ∴[2/3a×

  16

  9−a+1＝

  14

  9]，

  ∴a=3

  当a＜0时，函数在x=2时，取得极大值，

  所以f(2)＝

  14

  9，

  ∴−a+1＝

  14

  9，

  ∴a=−

  5

  9

  点评：

  本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

  考点点评： 本题以函数为载体，考查函数在某点取得极值的条件、考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，属于基础题．
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