讨论柯西古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式及留数定理四者关系

_melody_200 2023-03-21 09:55

• 

  ___青青子衿__

  2023-03-21 10:25

  柯西积分定理复变函数论的核心定理。它讨论一个区域D上的复函数在什么条件下在D上积分与路径无关，最简单的柯西积分定理的形式为：当D是单连通区域，而f（z）是D上的解析函数时，以下3个互相等价的结论成立：①f（z）在D内沿任意可求长曲线积分与路径无关。②f（z）在D内沿任意可求长闭曲线积分为零。③f（z）在D上有原函数。如果在连续函数类中讨论，则以上定理还是可逆的。柯西定理有以下常用的变化的形式：①D是由几条简单光滑闭曲线围成的有界区域，记L＝D，f（z）在D上解析，在Image:柯西积分定理1.在DUL上连续，则必有②在上述条件下，若L＝L0＋…＋L即D由L0，，…，L所围成，作为柯西积分定理的应用，有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式：f（z）在上连续，在D内解析的充要条件是。。柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数，从而证明了A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积分定理已推广到沿同伦曲线或沿同调链积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.简单的说，定义如下：设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，那么有:f(z)对曲线的闭合积分值为零。（注:f(z）为复函数）（上述定义直接证明是比较困难的在加上f(z)的导数在c上连续这个条件后，黎曼于1851年运用格林公式给出了简明的证明过程1900年古萨给出了正式的证明）U是单连通的条件，意味着U没有“洞”，例如任何一个开圆盘U={z:|z−z0|
  0 讨论(0)
  发布评论:

  提交评论

  ---

  •  加载中...