已知函数f（x）=ax2-x+lnx（a＞0）．

0卡拉卡拉0 2023-03-21 13:04

• 

  _B吇

  2023-03-21 13:58

  已知函数f（x）=ax2-x+lnx（a＞0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，求a的值及在该点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．

  解题思路：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求a的值及在该点处的切线方程；

  （Ⅱ）根据函数是单调函数，则导数的符号相同，建立条件关系即可得到结论．

  （Ⅰ）f′（x）=2ax-1+[1/x]．…（2分）

  由题设，f′（1）=2a=2，a=1，

  此时f（1）=0，切线方程为y=2（x-1），

  即2x-y-2=0．…（5分）

  （Ⅱ）f′（x）=[2ax2−x+1/x]．

  当a≥[1/8]时，△=1-8a≤0，f′（x）≥0，

  f（x）在（0，+∞）单调递增．…（9分）

  当0＜a＜[1/8]时，△＞0，方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根

  x1=

  1−

  1−8a

  4a，x2=

  1+

  1−8a

  4a．

  当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f（x）＜0，

  这时f （x）不是单调函数．

  综上，a的取值范围是[[1/8]，+∞）．…（12分）

  点评：

  本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

  考点点评： 本题主要考查主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数的几何意义，以及函数单调性和导数之间的关系．
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