一个关于高级函数的题.The solutions of the equation z^4+4(z^3)i-6z^2-4z

____TA0513 2023-03-21 12:59

• 

  __angelfish

  2023-03-21 14:00

  一个关于高级函数的题.The solutions of the equation z^4+4(z^3)i-6z^2-4zi-i=0 are the vertices of a convex polygon in the complex plane.What is the area of the polygon?

  该多边形的面积为2倍的2的4次方根,或32的4次方根,2^(5/4).

  由z^4+4(z^3)i-6z^2-4zi-i=0 得(z+i)^4=1+i.

  设w=z+i,则方程化为w^4=1+i,再设w=p(cosa+isina),则(p(cosa+isina))^4=√2(cos45+isin45),其中w的模p=2的开8次方(比较上式两边所得),故该方程的4个解w1,w2,w3,w4在复平面上对应的4个点恰在同一个圆的圆周上并构成一个正4边形,即正方形,该圆的圆半径为模p,自然原方程的4个解z1=w1-i,z2=w2-i,z3=w3-i,z4=w4-i也是这样,构成一个等圆的内接正方形,由于该圆的圆半径为模p,等于2的8次方根,故该正方形的面积为2倍的2的8次方根的平方,即为2倍的2的4次方根,或32的4次方根.

  是不是说该复方程的解构成一多边形区域的顶点,求此多边形?

  由二项式定理：z^4+4(z^3)i-6z^2-4zi+1=(z+i)^4

  已知z^4+4(z^3)i-6z^2-4zi-i=0

  所以(z+i)^4-1-i=0

  即 (z+i)^4=1+i

  从而z+i是1+i的四次方根。

  我想你会算复数开方吧。把那四个值算出来，再减去i,就得到四个顶点...

  是不是说该复方程的解构成一多边形区域的顶点,求此多边形?

  由二项式定理：z^4+4(z^3)i-6z^2-4zi+1=(z+i)^4

  已知z^4+4(z^3)i-6z^2-4zi-i=0

  所以(z+i)^4-1-i=0

  即 (z+i)^4=1+i

  从而z+i是1+i的四次方根。

  复方程的解构成一多边形区域的顶点,求此多边形?

  由二项式定理:

  (z-i)^4=z^4+4(z^3)i-6z^2-4zi+1 ;

  已知z^4+4(z^3)i-6z^2-4zi-i=0 ,

  所以:(z-i)^4-1=0;

  即 (z-i)^4=1 (z-i)^2=i（exp（i*pi/2)或者-i，(exp(-i*pi/2)) ,(由欧拉公式）

  ...
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