拉格朗日中值定理推论2如何证明?

_melody_200 2023-03-21 13:27

• 

  _ddihc_

  2023-03-21 14:10

  辅助函数法证明：

  已知f(x) 在[a,b]上连续，在开区间，(a,b)内可导，构造辅助函数。

  可得g(a)=g(b)又因为g(x)。

  在[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导。

  所以根据罗尔定理可得必有一点。

  夹*定理：

  x0≤ξ≤x。

  x-->x0,ξ-->x0。

  x,x0,ξ-->同一个值x，或x0，或ξ。

  应用：

  1、设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a。若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。

  2、夹*准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。

  拉格朗日中值定理有一个变形，即所谓的有限增量公式：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx，如果函数f(x)在（a,b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。

  令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。

  扩展资料：

  运动学意义：

  对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

  拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

  参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理

  令F(x)=f(x)-g(x)，则F'(x)=f'(x)-g'(x)=0.所以，由推论1得F(x)=C, 即f(x)-g(x)=C, 也就是f(x)=g(x)+C.
  0 讨论(0)
  发布评论:

  提交评论

  ---

  •  加载中...