证明拉格朗日中值定理

_nevergiveup 2023-03-21 13:54

• 

  _KayZ_

  2023-03-21 14:11

  证明如下：

  如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x(0<θ<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时,函数增量△y的准确表达式,因此本定理也叫有限增量定理.

  定理内容

  若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

  (1)在[a,b]连续

  (2)在(a,b)可导

  则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

  证明:

  把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

  做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).

  易证明此函数在该区间满足条件:

  1.G(a)=G(b);

  2.G(x)在[a,b]连续;

  3.G(x)在(a,b)可导.

  此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

  几何意义

  若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

  追问为什么罗尔定理条件证明了就证明了拉格朗日中值定理

  好，一下就数形结合的方法分析一下证明思路，（你最好画画图形哦）拉格朗日中值定理是由洛尔定理推出来的，看看他们的条件和结论的相同和不同之处就可以找到他们的联系，从而找到证明思路除了连续和可导的条件之外，洛尔定理说的是 如果有f(a)=f(b), 则必有点c, a

  设f(x)=x/(1+x)，x>0.则f(x)是个连续函数，满足拉格朗日中值定理的两个条件。有:f(x+y)-f(x)=f'(ζ)*[(x+y)-x]=y*f'(ζ)f'(ζ)=1/[(ζ+1)^2]因为x<ζ

  证明如下：如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)

  在拉格朗日中值定理的证明中如何构造辅助函数的问题，在网上有相关资料，而且推导过程很详细，可以仔细体会一下。比如这个https://wenku.baidu.com/view/177ab31610661ed9ad51f370.html
  0 讨论(0)
  发布评论:

  提交评论

  ---

  •  加载中...