已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x2-2x+13．

0飘雨的云0 2023-03-21 17:20

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  _KayZ_

  2023-03-21 17:54

  已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）+f（x+1）=2x2-2x+13．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的值域；（3）当x∈[1，5]时，求函数f（x）的最大值．

  解题思路：（1）由f（x）+f（x+1）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2-2x+13，由此求出a，b，c的值，从而得到函数f（x）的解析式；

  （2）（3）分别求出函数的单调区间，从而求出函数的值域，最值问题．

  （1）由f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，

  得f（x）+f（x+1）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c

  =2x2-2x+13，

  ∴

  2a＝2

  2a+2b＝−2

  a+b+2c＝13，解得：

  a＝1

  b＝−2

  c＝7，

  ∴f（x）=x2-2x+7；

  （2）∵f（x）=x2-2x+7=（x-1）2+6，

  ∴f（x）在[1，3]递增，

  ∴f（x）min=f（1）=6，f（x）max=f（3）=10，

  ∴当x∈[1，3]时，f（x）∈[6，10]；

  （3）∵f（x）在[1，5]递增，

  ∴f（x）max=f（5）=22．

  点评：

  本题考点： 二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．

  考点点评： 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，函数的最值问题，是一道基础题．
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