（2008•铜仁地区）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E

0七天七世纪0 2023-03-21 17:12

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  _loloff_

  2023-03-21 17:54

  （2008•铜仁地区）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：点F是BD的中点；（2）求证：CG是⊙O的切线．

  解题思路：（1）易证得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，那么对应线段成比例，由E为CH的中点，可证得DF=FB．

  （2）连接OC，证∠OCF=90°即可，注意使用（1）中得到的结论得到CF=FB，得到相应的角相等，半径相等得到的对应角相等．

  证明：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，

  ∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF．（1分）

  ∴[EH/BF=

  AE

  AF=

  CE

  FD]．

  ∵HE=EC，

  ∴BF=FD．（3分）

  （2）连接CB、OC，

  ∵AB是直径，

  ∴∠ACB=90°，

  ∵F是BD中点，CF=DF=BF，

  ∴∠BCF=∠CAB=∠CBF=90°-∠CBA=∠CBF=∠CAB=∠ACO．

  ∴∠OCF=∠OCB+∠BCF=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，

  ∴CG是⊙O的切线．（6分）

  点评：

  本题考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

  考点点评： 注意使用已得到的结论，用到的知识点为：两三角形相似，对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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