如图，⊙O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD沿弧AMD上滑动（点C与A、点D与B不重合），且CE⊥CD交

0教务处0 2023-11-27 09:59

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  ⊙_⊙沫

  2023-11-27 10:27

  如图，⊙O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD沿弧AMD上滑动（点C与A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，（1）求证：AE=BF；（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由．

  解题思路：（1）要证：AE=BF，就要从点O向CD作垂线，然后利用垂径定理和平行线等分线段定理可知AE=BF；

  （2）是定值，要求四边形的面积就要分析这个四边形是什么形状的，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底+下底）×高÷2，从图中给出的数量关系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面积是定值．

  （1）从点O向CD作垂线，垂足为G．

  根据垂径定理可知CG=DG，

  又∵CE∥OG∥DF，

  ∴OG是梯形ECDF的中位线，

  ∴OE=OF．

  ∵OA=OB，

  ∴AE=BF．

  （2）四边形CDFE的面积是定值．理由如下：

  过点O作OG⊥CD于G，连接OD．

  则DG=[1/2]CD=4.5cm．

  在△OGD中，∠OGD=90°，OD=[1/2]AB=7.5cm，

  根据勾股定理得OG=

  7.52−4.52=6cm，则GD=4.5cm．

  ∵OD、DG是定值，

  ∴OG是定值．

  ∵CE∥OG∥DF，G为CD中点，

  ∴O为EF中点，

  ①当CD与AB不平行时．

  ∴OG为梯形CDFE的中位线，

  ∴CE+DF=2OG=2×6=12cm，

  ∵梯形的高也是定值9cm，

  ∴梯形的面积是定值=12×9÷2=54cm2．

  ②当CD∥AB时，四边形ECDF是矩形，

  OG=EC=FD=6，

  ∴矩形的面积=6×9=54cm2是定值．

  综上所述，四边形CDFE的面积是定值．

  点评：

  本题考点： 垂径定理；平行线的性质；勾股定理．

  考点点评： 本题综合考查了垂径定理、平行线等分线段定理及勾股定理和梯形的面积公式等知识点．
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