一道高中二次函数题设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＞b＞c﹚,f(1)=0,且存在实数m,使f(m)=

0o冰凌泡沫o0 2023-11-27 10:34

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  _P_erhaps

  2023-11-27 10:54

  一道高中二次函数题设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a＞b＞c﹚,f(1)=0,且存在实数m,使f(m)=-a.试推断f(x)在区间（0,正无穷）上是否为单调函数.并证明.

  （1）∵存在实数m,使f（m）=-a．

  ∴方程ax2+bx+c+a=0有实根⇒△=b2-4a（a+c）≥0…（*）

  ∵f(1)＝0

  ,

  ∴a+b+c=0,结合a＞b＞c得a＞0,c＜0

  再将a+c=-b代入不等式（*）,得

  b2-4a•（-b）=b（b+4a）≥0,

  ∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0

  ∴b≥0.

  可得二次函数f（x）=ax2+bx+c图象开口向上,且关于直线x=−

  b

  2a

  对称

  ∵−

  b

  2a

  ＜0,f（x）在[−

  b

  2a

  ,+∞）上是增函数．

  ∴f（x）在区间[0,+∞）上是增函数…
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