大学文科数学,求不定积分∫√1-x ² arcsinx dx.注：根号包括到1-x²,根式与反函数的

_P_erhaps 2023-03-17 08:27

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  0海绵和派大星0

  2023-03-17 09:07

  大学文科数学,求不定积分∫√1-x ² arcsinx dx.注：根号包括到1-x²,根式与反函数的关系是乘法

  求不定积分∫[√(1-x ²)] arcsinx dx.

  设arcsinx=u,则x=sinu,dx=cosudu,代入原式得：

  原式=∫[√(1-sin²u)]ucosudu=∫ucos²udu=(1/2)∫u(1+cos2u)du=(1/2)[∫udu+∫ucos2udu]

  =(1/2)[u²/2+(1/2)∫udsin(2u)]=u²/4+(1/4)[usin2u-∫sin2udu]=u²/4+(1/4)usin2u-(1/8)∫sin2ud(2u)

  =u²/4+(1/4)u(2sinucosu)+(1/8)cos2u+C=(1/4)(arcsinx)²+(1/2)(arcsinx)[x√(1-x²)]+(1/8)(1-2x²)+C

  其中sinucosu=sinu√(1-sin²u)=x√(1-x²)；cos2u=1-2sin²u=1-2x².

  请把下面的结果放到LATEX 中运行即可得到结果

  求$intsqrt{1-x^2}arcsin x dx=$

  解:令$u=arcsin x$,$v^,=sqrt{1-x^2}$,

  则有$u^,=1/sqrt{1-x^2}$,$v=intsqrt{1-x^2} dx=1/2arcsin x +x/2 cdotsqrt{1-x^2}+C$

  而$int u^,v dx=int 1/sqrt{1-x^2}cdot(1/2arcsin x +x/2 cdot sqrt{1-x^2}) dx

  =1/4(arcsin x)^2+1/4 x^2+C$;

  $uv=1/2(arcsin x)^2+x/2sqrt{1-x^2}cdotarcsin x$

  所以,原式=$uv-int u^,v dx={1/2(arcsin x)^2+x/2 cdotsqrt{1-x^2}cdotarcsin x}-{1/4(arcsin x)^2+1/4 x^2+C}

  =1/4(arcsin x)^2+x/2 cdot sqrt{1-x^2}cdotarcsin x-1/4 x^2+C$.

  令 x=sint

  有 dx = costdt

  所以原式= ∫ tcos²tdt

  = (1/2)∫t(1+cos2t) dt

  = (1/2)∫tdt +(1/2)∫(tcos2t) dt

  =t²/4 + (1/4)(tsin2t -∫sin2tdt) 分部积分法

  =t²/4 + tsin2t/4 + cos2t/4 + C
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