cd是圆o的弦,ab是直径.cd垂直于ab,垂足为p,求证pc^2=pa*pb.

∮狂♀齐⌒ 2023-03-22 09:50

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  0飘雨的云0

  2023-03-22 10:10

  cd是圆o的弦,ab是直径.cd垂直于ab,垂足为p,求证pc^2=pa*pb.图我就不画了.根据描述就可以构建出来的,

  ab是直径,有,角acb=90 （1）

  cd垂直于ab,有,角cpa=角cpb=90 （2）

  由1、2有,abc,apc,bpc均为直角三角形 （3）

  角cab=角pac;角cba=角pbc (同角相等) （4）

  由3、4有,apc相似于acb,bpc相似于bca （角角相似） （5）

  由5有 apc相似于cpb (相似的传递性) （6）

  由6有,pc/pb=pa/pc (相似三角形的性质) （7）

  7移项有,pc^2=pa*pb

  得证

  由于ab是直径，所以△abc为直角△，角C为直角，又cd垂直于ab，所以△cbp与△cap相似，所以pc/pb=ap/pc;推得pc^2=pa*pb

  PC^2什么意思？

  其实是证明垂影定理的！可以分三个相似的直角三角形(圆周角对玄为直径时角为九十度)证两个小的相似就出来了

  根据相交弦定理.PA*PB=PC*PD (1)

  AB是直径,又CD垂直于AB,所以CP=DP,代入(1)得:

  PA*PB=PC^2

  证明：

  连接AC，BC

  ∵AB是直径，

  ∴∠ACB=90°

  ∵AB⊥CD

  ∴△ACP∽△CBP

  ∴AP/CP=CP/BP

  ∴CP²=AP·BP
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