在△ABC中，已知边c=10，又已知[cosA/cosB＝ba＝43]，求a，b及△ABC的内切圆的半径．

______純銀se 2023-03-17 08:31

• 

  ___格子er

  2023-03-17 09:10

  解题思路：根据正弦定理表示出[b/a]，与已知的等式等量代换，并利用二倍角的正弦函数公式化简，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A与B互余，再根据[b/a]值不为1，得到a与b不等，从而A不等于B，可得A+B=90°，即C为直角，得到三角形ABC为斜边是c的直角三角形，根据已知[b/a]的值及勾股定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，把a，b及c的值代入内切圆半径公式[a+b−c/2]即可求出三角形ABC内切圆的半径．

  根据正弦定理[a/sinA]=[b/sinB]，得[b/a]=[sinB/sinA]，又[cosA/cosB＝

  b

  a]，

  ∴[cosA/cosB＝

  sinB

  sinA]，即sinAcosA=sinBcosB，

  ∴sin2A=sin2B，又A，B为三角形的内角，

  ∴2A=2B或2A+2B=180°，

  又[b/a＝

  4

  3]，∴A≠B，

  ∴A+B=90°，即△ABC为直角三角形，且c为斜边，c=10，

  根据题意及勾股定理列得：

  b

  a＝

  4

  3

  a2+b2＝c2＝100，

  解得：

  a＝6

  b＝8，

  则△ABC的内切圆半径r＝

  a+b−c

  2＝

  6+8−10

  2＝2．

  点评：

  本题考点： 正弦定理．

  考点点评： 此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及勾股定理，根据正弦定理化简已知的等式得到角A与角B的关系是本题的突破点，学生做题时注意利用已知条件舍去不合题意的解，即A=B要舍去．

  cosA/cosB=b/a

  cosA/cosB=sinB/sinA

  sin2B=sin2A

  因为 A≠B，所以 2B+2A=180°，∠C为直角。

  b:a = 4:3

  b²+a²=c²

  a=6 b=8

  S△=1/2 ab

  S△=1/2 (a+b+c)r

  解得内切圆半径：r = ab/(a+b+c) = 48/24 =2
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