微积分常用公式要全的已及二重积分的计算方法

0天使折翼0 2023-03-23 05:10

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  0时光机器0

  2023-03-23 05:55

  利用极坐标计算二重积分,有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的. I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的积分上限是1,下限0 y的积分上限是x,下限是x�� 积分区域D即为直线y=x,和直线y=x��在区间[0,1]所围成的面积,转换为极坐标后,θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围： 因为y=x��的极坐标方程为：rsinθ=r��cos��θ r=sinθ/cos��θ 因为直线y=kx和曲线y=x��的交点为(0,0),(k,k��),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos��θ],则积分I化为极坐标的积分为 I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)��+(rsinθ)��rdr =∫dθ∫dr (θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos��θ]) =∫(sinθ/cos��θ)dθ(θ范围[0,π/4]) =∫(-1/cos��θ)dcosθ =|1/cosθ|(θ范围[0,π/4]) =1/cos(π/4)-1/cos0 =√2-1
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