高中数学 如何求解一元三次方程?如何因式分解?

0破晓之前0 2023-03-17 14:33

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  _suudjdjd

  2023-03-17 15:03

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  高中是不要求掌握三次方程的求根公式（卡丹公式）的。一般都是先用试根法得出一个根，再分解求出另2个根。试根法主要是根据以下法则：如果方程具有有理数根m/n,则m为常数项的因数，n为最高项系数的因数。而1，-1是常用的因数，一般先尝试这两个。对于这题，f(x)=2x^3-3x^2-3x+2,有f(-1)=-2-3+3+2=0.因此x=-1为一个根所以有因式x+1，再分解如下：f(x)=2x^3+2x^2-5x^2-5x+2x+2=(x+1)(2x^2-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)追问可以再举一个试根法的例子吗？把“如果方程具有有理数根m/n,则m为常数项的因数，n为最高项系数的因数。”这个法则详细的举例一下吗？谢谢了。

  追答比如方程x^3-2x^2-2x-3=0最高项系数为1，常数项为-3，若有理根为m/n, 则n只能为1（或-1），所以有理根必为整数根m.-3的因数也只有3或-3代入即知x=3为根，则可以分解成一个因子x-3x^3-3x^2+x^2-3x+x-3=0(x-3)(x^2+x+1)=0

  中学阶段的高次方程一般都能简单分解，先试一些简单的整数根如 -1，0，1 等，如果满足就可确定一个因子，然后凑另一个因子的系数。如 x^3-2x^2-19x+20 ，系数和为 0，说明有因子 x-1 ，然后 x^3 - 2x^2 - 19x + 20=(x-1)(x^2+ax+b)，展开比较系数有 a-1= -2 ，-1*b= 20 ，所以 x^3 - 2x^2 - 19x + 20=(x-1)(x^2-x-20) ，最后用十字相乘分解 x^2-x+20=(x+4)(x-5) 。类似地，可以分解 x^4 + 11x^3 +38x^2 +40x=x(x+2)(x+4)(x+5) 。

  先化简，再用(－b±√（b²－4ac））÷2a即可求得。这是个公式，书上有的。追问打错了是2X^3-3X^2-3X+2=0
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