圆半径的平方是什么意思？

___梦断不成归 2023-03-17 16:54

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  2023-03-17 17:54

  一开始是数学直觉，到后面有了微积分作为工具了，就可以严格证明了。这个直觉真的很直观，因为每个圆有且只有一个外接正方形，而圆和正方形的形状都是唯一的，不同的圆或正方形只有大小不一样，那很容易就得出一个猜测：圆和它的外接正方形的面积比恒定，也就是S=k*d^2。不用直径而用半径表示的话就是S=Pi*r^2。后面的严格证明利用微积分即可，不难。查了一些资料，发现古人比我想象的聪明，在微积分之前，古人(起码中国)就已经严格证明了圆的面积与半径的平方成正比。《九章算术》里记载了如何计算圆的面积：周径相同乘，四而一。意思就是圆的面积等于周长乘以直径再除以4。从描述来看，古人计算圆的面积是用三角法，把圆均分成无数个小扇形，这些小扇形近似等于一个等腰三角形，底边为周长的一部分，高是半径，然后再把小扇形两两拼在一起，成为半数的平行四边形，再拼在一起形成一个大的平行四边形，底边长度是圆周长的一半，高是直径的一半，再利用平行四边形的公式，就得到了《九章算术》里描述的圆面积计算法。以现代数学来看，这就证明了圆的面积与半径平方成正比，且比值为Pi。佩服了，古人的智慧。
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