若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．

_M30_ 2023-03-17 21:31

• 

  _Nanjolno_

  2023-03-17 21:38

  若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．（Ⅰ）已知函数 f(x)= x 2 +mx+m x 的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（Ⅱ）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x 2 +ax+1，求函数g（x）在（-∞，0）上的解析式；（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．

  （Ⅰ）由题设，∵函数 f(x)=

  x 2 +mx+m

  x 的图象关于点（0，1）对称，

  ∴f（x）+f（-x）=2，

  ∴

  x 2 +mx+m

  x +

  x 2 -mx+m

  -x =2

  ∴m=1…（4分）

  （Ⅱ）∵函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，

  ∴g（x）+g（-x）=2，

  ∵当x∈（0，+∞）时，g（x）=x 2 +ax+1，

  ∴当x＜0时，g（x）=2-g（-x）=-x 2 +ax+1…（8分）

  （Ⅲ）由（Ⅰ）得 f(t)=t+

  1

  t +1(t＞0) ，其最小值为f（1）=3

  g(x)=- x 2 +ax+1=-(x-

  a

  2 ) 2 +1+

  a 2

  4 ，…（10分）

  ①当

  a

  2 ＜0 ，即a＜0时， g (x) max =1+

  a 2

  4 ＜3 ，∴ a∈(-2

  2 ，0) …（12分）

  ②当

  a

  2 ≥0 ，即a≥0时，g（x） max ＜1＜3，∴a∈[0，+∞）…（13分）

  由①、②得 a∈(-2

  2 ，+∞) …（14分）
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