如图所示，ABC为一细圆管构成的 3 4 圆轨道，将其固定在***平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，

∮狂♀齐⌒ 2023-03-17 21:40

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  2023-03-17 21:58

  如图所示，ABC为一细圆管构成的 3 4 圆轨道，将其固定在***平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC***，最低点为B，最高点为C，细圆管内壁光滑．在A点正上方某位置有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动．已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力．（1）若小球经过C点时恰与管壁没有相互作用，求小球经过C点时的速度大小；（2）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求小球经过最低点B时的速度大小和轨道对小球的作用力大小；（3）若小球从C点水平飞出后恰好能落回到A点，求小球刚开始下落时距离A点的高度．

  （1）设通过C点时小球速度为v c ，

  小球与管壁没有相互作用，则重力充当向心力，即：mg=

  m

  v 2c

  R

  解得：v c =

  gR

  （2）小球恰好通过C点，故小球通过C点的速度为零，

  对小球由B到C的过程根据动能定理，有： 0-

  1

  2 m

  v 2B =mg2R ①

  又由小球经过B点时，由牛顿第二定律： F N -mg=

  m

  v 2B

  R ②

  ①②联立可得：v B = 2

  Rg ，F N =5mg

  （3）小球从C点飞出后做平抛运动，

  ***方向：R=

  1

  2 g t 2

  水平方向：R=v c ′t

  解得：v c ′=

  gR

  2

  由初末机械能守恒可得： mg(h-R)=

  1

  2 m

  v′ 2c

  解得：h=

  5

  4 R

  答：（1）若小球经过C点时恰与管壁没有相互作用，小球经过C点时的速度大小为

  gR ；

  （2）若小球刚好能到达轨道的最高点C，小球经过最低点B时的速度大小为 2

  Rg ，轨道对小球的作用力大小为5mg；

  （3）若小球从C点水平飞出后恰好能落回到A点，小球刚开始下落时距离A点的高度为

  5

  4 R ．
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