在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设f（x）=x2−3

∮惗贤☆旭 2023-04-14 09:08

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  _loloff_

  2023-04-14 09:47

  在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设f（x）=x2−3x+82(x≥2) ，g(x)＝ax (a＞1)．（1）若∃x0∈[2，+∞）使f（x0）=m成立，求实数m的取值范围．（2）若∀x1∈[2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），求实数a的取值范围．

  解题思路：（1）求得函数在[2，+∞）上为增函数，即可确定实数m的取值范围；

  （2）确定分别函数f（x）、g（x）的值域，根据题意，可得a2＜3，由此可求实数a的取值范围．

  （1）f（x）=[1/2(x−

  3

  2)2+

  23

  8]，∴函数在[2，+∞）上为增函数，∴f（x）≥f（2）=3，即实数m的取值范围是[3，+∞）；

  （2）由（1）知，函数f（x）的值域是[3，+∞），又g（x）的值域是（a2，+∞）

  ∵∀x1∈[2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），

  ∴a2＜3

  ∵a＞1，

  ∴1＜a＜

  3．

  点评：

  本题考点： 函数与方程的综合运用；函数的零点．

  考点点评： 本题考查函数的单调性，考查函数的值域，考查学生对新定义的理解，属于中档题．
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