国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价

__KHAKI 2023-03-18 05:05

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  2023-03-18 05:39

  国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．（1）写出V关于W的函数关系式；（2）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（3）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，试用你所学的数学知识证明：当M=N时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率= 原有价值-现有价值 原有价值 ×100 %；在切割过程中的重量损耗忽略不计）．

  解（1）依题意设v=kw 2 ，（2分）

  又当w=3时，v=54000，∴k=6000（3分）

  故v=6000w 2 （4分）

  （2）设这颗钻石的重量为a克拉，

  由（1）可知，按重量比为1：3切割后的价值为 6000(

  1

  4 a ) 2 +6000(

  3

  4 a ) 2 （6分）

  价值损失为 6000 a 2 -[6000(

  1

  4 a ) 2 +6000(

  3

  4 a ) 2 ] （7分）

  价值损失的百分率为

  6000 a 2 -[6000 (

  1

  4 a) 2 +6000 (

  3

  4 a) 2 ]

  6000 a 2 =0.375=37.5%

  答：价值损失的百分率为37.5%（8分）

  （3）证明：价值损失的百分率为

  6000(m+n ) 2 -(6000 m 2 +6000 n 2 )

  6000 (m+n) 2 =

  2mn

  (m+n) 2 ≤

  2 (

  m+n

  2 ) 2

  (m+n) 2 =

  1

  2

  当且仅当m=n时，等号成立．

  即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大．（12分）
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