已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-2.当x属于[1/e,e]时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零

√囨囚囨図 2023-03-18 05:34

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  2023-03-18 06:05

  已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-2.当x属于[1/e,e]时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围

  已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-2.当x属于[1/e,e]时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围

  解析：∵函数f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax-2

  令h(x)=

  f(x)-g(x)=xlnx+x^2-ax+2,其定义域为x>0

  令h’(x)=lnx+1+2x-a=0

  ∴a= lnx+1+2x==> a’=1/x+2>0==>a单调增

  当x≈0.231527时,a=0

  h’’(x)=1/x+2>0,∴h(x)在x≈0.231527处取极小值

  ∵x∈[1/e,e],且0.2315270

  若要h(x)在区间[1/e,e]上有两个零点,须使极小值点在此区间上,且极小值x=1

  h(1)=3-a=0==>a=3

  ∴a>3

  h(e)=e+e^2-ae+2=0==>a=(e+e^2+2)/e=1+e+2/e

  ∴a

  可以分离变量，得到a=Inx+x+2/x.对右边求导得到导函数为（x^2+x-2）/x^2,可以知道该导函数在负无穷到-2上大于0，在-2到1上小于0，在1到正无穷上大于0，因此得到在定义域上，1/e上原函数减，在1/e到e上增。因此，只需求出x=1/e时Inx+x+2/x的值，x=1时的值，x=e时的值，这样，令a介于第一个个第三个值的最小值和第二个值之间即可，得到3＜=a＜=1+e+2/e...
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