如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别为PA，PC的中点．

0上流少爷0 2023-03-16 22:07

• 

  __Sumous__

  2023-03-16 22:33

  如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别为PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断l与平面PAC的位置关系，并加以说明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ＝12CP，记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的锐角为α，二面角E-l-C的大小为β，①求证：sinθ=sinα•sinβ．②当点C为弧AB的中点时，PC=AB，求直线DQ与平面BEF所成的角的正弦值．

  解题思路：（I）由已知条件推导出EF∥AC，从而得到EF∥平面ABC，由此能证明l∥平面PAC．

  （II）①过B作AC的平行线BD，交线l即为直线BD，且l∥AC，由已知条件推导出∠CBF=β，∠CDF=θ，∠BDF=α，由此能证明sinθ=sinαsinβ；

  ②因为DQ∥CP，所以直线DQ与平面BEF所成的角就为CF与平面BEF所成的角，过点C作CG⊥BF，垂足为G，证明∠CFB就是直线CF与平面BEF所成的角，即可得出结论．

  （Ⅰ）直线l∥平面PAC，

  证明如下：连接EF，

  因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC．

  又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．

  而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．

  因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC..4分

  （Ⅱ）①证明：如图，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．

  因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．

  已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l．

  而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．

  连接BE，BF，

  因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．

  故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．

  由

  DQ＝

  1

  2

  CP，作DQ∥CP，且DQ＝

  1

  2CP．

  连接PQ，DF，

  因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，

  从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．

  连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，

  故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．

  又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF为锐角，

  故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF=α，8 分

  于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得sinθ＝

  CF

  DF，sinα＝

  BF

  DF，sinβ＝

  CF

  BF，

  从而sinαsinβ＝

  CF

  BF•

  BF

  DF＝

  CF

  DF＝sinθ，即sinθ=sinαsinβ.9分

  ②因为DQ∥CP，所以直线DQ与平面BEF所成的角就为CF与平面BEF所成的角

  过点C作CG⊥BF，垂足为G，

  因为BD⊥平面PBC，所以BD⊥CG，

  又BD∩BF=B，所以CG⊥平面BEF

  故∠CFB就是直线CF与平面BEF所成的角，sin∠CFB＝

  6

  3，

  故直线DQ与平面BEF所成的角的正弦值为

  6

  313分

  点评：

  本题考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

  考点点评： 本题考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查三角函数正弦值相等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
  0 讨论(0)
  发布评论:

  提交评论

  ---

  •  加载中...