已知数列﹛An﹜满足An+Sn=n,由此猜想通项公式An并用数学归纳法证明

__42_mrB 2023-03-18 13:13

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  0月袭小姐052

  2023-03-18 14:01

  Sn=n-An

  S(n-1)=n-1-A(n-1)

  两式相减得

  2An=A(n-1)+1

  {An-1}/{A(n-1)-1}=1/2

  n=1,a1+s1=1,所以a1=1/2

  所以 An-1=(-1/2)*(1/2)^(n-1)

  以上可以在草稿纸上进行,直接猜想通项公式为：

  An=(-1/2)*(1/2)^(n-1)+1

  证明：

  1.n=1,An=-1/2+1=1/2 成立

  2.假设n=k时,也成立,则

  Ak=(-1/2)*(1/2)^(k-1)+1

  3.n=k+1,根据已知条件有

  A(k+1)+S(k+1)=k+1

  Ak+Sk=k

  两式相减得

  A(k+1)-Ak+A(k+1)=1

  2A(k+1)=Ak+1=(-1/2)*(1/2)^(k-1)+1+1

  两边除以2得

  A(k+1)=(-1/2)*(1/2)^(k)+1

  由2、3可知猜想正确.

  解答很详细吧,一个字一个字打出来哦.

  an+sn=n

  a（n-1)+s（n-1)=n-1

  两个式子相减

  an=-1/2a（n-1)+1/2

  （an+2)/(a(n-1)+2)=-1/2 是等比数列 首项为-3/2

  {an+2}的通项公式为-3/2*（-1/2）^(n-1)

  {an}的通项公式为-3/2*（-1/2）^(n-1)-2
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