如何理解线性代数中的如下定理?

_____Eternal丶 2023-03-18 13:23

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  _MinnLe9

  2023-03-18 13:54

  首先了解线性相关的本质: 至少存在一个向量可由其余向量线性表示.也就是说, 线性相关的向量组中有"多余"的向量再来看看这个定理的结论:一个"大"的向量组 若能由一个"小"的向量组线性表示, (r>s)那么这个向量组中一定有"多余"的向量, 即这个向量组线性相关.追问如果说a1,a2....ar是线性无关的，向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，故r<=s。 在这里就是说a1,a2,…,ar是没有“多余”的向量，同时也没有说b1,b2,…,bs线性是否相关，如何理解这个r<=s

  追答线性无关的向量组是较"精简"的向量组若它可由另一个向量组线性表示那么,那个向量组所含向量的个数一定不少于 r

  显然这些向量在一个至多s维空间里，因为ai可以用bi表出，所以可以从bi中选出一些向量作为这个空间的基底，而r>s，所以ai的数量大于基底的数量，所以必然线性相关。

  假如b1....s是线性无关的，那由这s个基向量组成r个向量时，必定线性无关好像三维坐标，有三个基向量ijk，没法用这个东西表示出四个向量线性无关的吧。。。如果b1....s是线性相关的，那结果更加显而易见

  用向量组的秩似乎容易说明： 向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出， 故 向量组a1,a2,…,ar的秩<=b1,b2,…,bs的秩<=s, 假设向量组a1,a2,…,ar线性无关, 故向量组a1,a2,…,ar的秩=r，所以r<=s，矛盾！
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