已知椭圆C:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2(1

_M30_ 2023-03-18 13:27

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  0扬风0

  2023-03-18 14:07

  已知椭圆C:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2(1)求椭圆C的方程（2）已知直线l:Y=KX+根号3与椭圆交AB点,是否存在k使线段AB为直径的圆恰好经过原点O若有求k若无说理由

  （1）a²=b²+c²

  离心率=c/a=√3/2

  P到焦点距离为2

  2a=2×2=4

  a=2

  c=√3

  b²=a²-c²=4-3=1

  椭圆方程为y²/4+x²=1

  （2）设A（x1,y1）=（x1,kx1+√3）；

  B（x2,y2）=（x2,kx2+√3）

  圆的直径=√【（x1-x2）²+（y1-y2）²】

  =√【（x1-x2）²+k²（x1-x2）²】

  =√【（1+k²）（x1-x2）²】

  假设存在这样的k,则（0,0）到直线的距离d²=√3²/（k²+1）

  距离d=圆的半径

  即√【3/（k²+1）】=√【（1+k²）（x1-x2）²】/2

  整理的（1+k²）²（x1-x2）²=12

  把（x,kx+√3）代入椭圆方程的

  （k²+4）x²+2√3kx-1=0

  x1+x2=-2√3k/（k²+4）

  x1*x2=-1/（k²+4）

  所以（x1-x2）²=（x1+x2）²-4x1*x2

  =【-2√3k/（k²+4）】²+4/（k²+4）

  =16（k²+1）/（k²+4）²

  （1+k²）²（x1-x2）²=12可整理成

  16（1+k²）³/（k²+4）²=12

  求出k来

  a²=b²+c²

  e=c/a=√3/2

  P到焦点距离d=2

  2a=2×2=4

  a=2

  c=√3

  b²=a²-c²=4-3=1

  椭圆方程为y²/4+x²=1

  郭敦顒回答：

  (1)求椭圆C的方程

  ∵椭圆C:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)的短轴的一个端点P(b, 0)到焦点F1(0, c)的距离为2，∴a=2，a²=4，

  离心率e=c/a=（1/2）√3，c=√（a²－b²），c²=a²－b²，

  ∴c/2=（1/2）√3，∴c=√3，c²=3，

  （1）因为c/a是根号3比2，2a=4.所以a=2,c=根号3,b=1椭圆方程：y平房/4加上x平房＝1。（2）不存在，因为直线如果经过原点x=0,y=0.直线方程不成立。这都是简单题啊！望采纳。
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