已知椭圆C:a平方分之x平方＋b平方分之y平方＝1 (a＞b＞0的左焦点为F1（-1,0）,离心率为2分之根号2,直线Y

∞虛╋僞ミ 2023-03-18 17:13

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  2023-03-18 17:43

  已知椭圆C:a平方分之x平方＋b平方分之y平方＝1 (a＞b＞0的左焦点为F1（-1,0）,离心率为2分之根号2,直线Y=k(x+1)与椭圆C交于不同的两点P,Q.问1 椭圆C方程.问2 若op垂直于OQ O是原点,求k的值.（尽量用数学符号表示.求质量.二十分钟内）

  F1(-1,0),故有c=1,又有e=c/a=根号2/2,故有a=根号2

  b^2=a^2-c^2=2-1=1

  故椭圆方程是x^2/2+y^2=1

  y=k(x+1)代入得到x^2+2k^2(x^2+2x+1)=2

  (1+2k^2)x^2+4k^2x+2k^2-2=0

  x1+x2=-4k^2/(1+2k^2),x1x2=(2k^2-2)/(1+2k^2)

  y1y2=k^2(x1x2+(x1+x2)+1)=k^2*(-4k^2+2k^2-2+1+2k^2)/(1+2k^2)=-k^2/(1+2k^2)

  由于OP垂直于OQ,则有x1x2+y1y2=0

  即有(2k^2-2)/(1+2k^2)-k^2/(1+2k^2)=0

  即有2k^2-2-k^2=0

  k^2=2

  k=土根号2.

  1.c=1,c²=1

  e=c/a=√2/2=1/√2,∴a=√2,∴a²=2.

  ∵b²=a²-c²=1

  ∴ 椭圆C方程:x²/2+y²=1

  2设P(X1，Y1)，Q(X2，Y2)

  由:x²/2+y²=1，Y=k(x+1)消去y得：（2k²+1）x²+...

  (1)x²/2+y²=1

  (2)将y=k(x+1)代入椭圆方程得：

  (2k²+1)x²+4k²x+2k²-2=0,Δ=(16k²)²-4(2k²+1)(2k²-2)=2k²+2＞0

  由韦达定理，x1+x2=-4k²/2k²+1,x1*x2=2k&...
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