如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x

_JIAYUAN 2023-03-18 17:32

• 

  _pp

  2023-03-18 18:04

  如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：①y=-x3+1，②y=3x-2sinx-2cosx③y=ln|x|，x≠00，x＝0④y=x2+4x，x≥0−x2+x，x＜0．以上函数为“Z函数”的序号为______．

  解题思路：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

  ∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，

  ∴不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，

  即函数f（x）是定义在R上的增函数．

  ①函数y=-x3+1在定义域上单调递减．不满足条件．

  ②y=3x-2sinx-2cosx，y′=3-2cosx+2sinx=3+2（sinx-cox）=3-2

  2sin（x-[π/4]）＞0，函数单调递增，满足条件．

  ③f（x）=y=

  ln|x|，x≠0

  0，x＝0，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．

  ④y=

  x2+4x，x≥0

  −x2+x，x＜0，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．

  故答案为：②

  点评：

  本题考点： 抽象函数及其应用．

  考点点评： 本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．
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