已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是（　　）

_Datura丶私欲 2023-03-18 21:24

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  2023-03-18 21:51

  已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是（　　）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°

  解题思路：设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE，AE．因为锐角△ABC的垂心在三角形内部，设H为三角形的垂心．得到平行四边形AHCE，根据已知条件和三角形的中位线定理，得OB=AH=CE=2OD，根据直角三角形的边角关系求得∠BOD=60°，进一步根据圆周角定理求解．

  如图，设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE，AE．

  锐角△ABC的垂心在三角形内部，

  设H为三角形的垂心，则CE∥AH，AE∥CH．

  则OB=AH=CE=2OD，

  ∴∠OBD=30°，

  ∴∠BOD=60°，

  ∴∠A=∠BOD=60°．

  故选C．

  点评：

  本题考点： 三角形的外接圆与外心．

  考点点评： 此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、圆周角定理以及垂心、外心的概念，三角形的垂心即为三角形的三条高的交点，三角形的外心即为三角形的垂直平分线的交点．

  已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径则角A的度数

  依题意，这个垂心就是该三角形的外心，既然垂心与外心合一，那么内心必然也在此处无疑；

  即该三角形三心合一，故必是等边三角形，即A=60度。
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