（2006•深圳模拟）已知：如图1，从以AB为直径的圆上一点D引一切线，再从AB上一点C引这条切线的垂线，垂足为E．

0红0 2023-03-19 09:10

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  2023-03-19 09:55

  （2006•深圳模拟）已知：如图1，从以AB为直径的圆上一点D引一切线，再从AB上一点C引这条切线的垂线，垂足为E．（1）如果DC⊥AB且DC交圆于点F，请证明：CE•AB=AC•CB+CD2；（2）如果DC与AB不垂直如图2，那（1）中结论是否还成立？请证明你的想法．

  解题思路：（1）连接OD，证明Rt△ODC∽Rt△DCE，根据相似三角形的性质得以证明．

  （2）连接DO并延长交⊙于点G，连接GF，证明Rt△GDF∽Rt△DCE，根据相似三角形的性质得以证明．

  证明：（1）连接OD，

  ∵DE是⊙O的切线且OD为半径，

  ∴OD⊥DE．

  ∵CE⊥DE，

  ∴OD∥CE．

  ∴∠ODC=∠DCE．

  故Rt△ODC∽Rt△DCE．（1分）

  ∴OD：DC=DC：CE．

  即CE•OD=DC2（2分）

  ∵AB=2OD，

  ∴CE•AB=2CD2．

  ∵DC⊥AB且AB为直径，

  ∴DC2=AC•CB．

  ∴CE•AB=AC•CB+CD2．（4分）

  （2）如果DC与AB不垂直，那（1）中结论依然成立．（5分）

  理由如下：

  如图，连接DO并延长交圆于点G，连接GF．

  ∵GD为直径且DE为圆的切线，

  ∴∠GFD=90°=∠GDE．

  ∵CE⊥DE，

  ∴GD∥CE．

  ∴∠GDC=∠DCE．

  故Rt△GDF∽Rt△DCE．（6分）

  ∴GD：CD=DF：CE．

  故CE•GD=CD•DF．（7分）

  ∵GD=AB，DF=CD+CF，

  ∴CD•（CF+CD）=CD•CF+CD2

  ∵CD•CF=AC•CB，

  ∴CE•AB=AC•CB+CD2．（8分）

  点评：

  本题考点： 切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

  考点点评： 本题要求的综合能力较强，主要考查了切线的性质及相似三角形的判定和性质．
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