直线与圆：如图,已知CD是△ABC的边AB上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA,CB于点E,F,点G是AD的中点.求证

⊙_⊙沫 2023-03-19 09:37

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  _im小纠结

  2023-03-19 09:59

  直线与圆：如图,已知CD是△ABC的边AB上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA,CB于点E,F,点G是AD的中点.求证求证：GE是⊙O的切线

  证明：连接OE,OG,DE

  ∵CD是△ABC的边AB上的高

  ∴∠BDC=∠ADC=90°

  ∵点G是AD的中点

  ∴AG=GD

  又∵OC=OD

  ∴OG是△ACD的中位线

  ∴OG=1/2AC

  ∵CD是⊙O的直径

  ∴∠AED=∠DEC=90°

  ∴在Rt△AED中,AG=GD

  EG=1/2AD（直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）

  又∵OE=1/2CD

  即OG/AC=EG/AD=OE/CD=1/2

  ∴△EOG∽△ACD

  ∴∠GEO=∠ADC=90°

  ∴GE是⊙O的切线
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