已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，

____洛小柒° 2023-03-19 13:07

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  _EvenSion

  2023-03-19 13:45

  已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（1）当c=3时，不等式f（x）＜0的解集为（1，3），求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）＜0的解集为（1，3），且f（x）＞a3-4a在区间[a，a+1]上恒成立，求实数a的取值范围．

  解题思路：（1）利用一元二次不等式的解集是（1，3），得到1，3是对应方程f（x）=0的两个根，根据根与系数之间的关系求a，b即可．

  （2）利用不等式f（x）＜0的解集为（1，3），得到1，3是对应方程f（x）=0的两个根，根据根与系数之间的关系求a，b，c的关系，利用f（x）＞a3-4a在区间[a，a+1]上恒成立a的取值范围．

  （1）当c=3时，f（x）=ax2+bx+3，因为元二次不等式的解集是（1，3），则1，3是对应方程f（x）=0的两个根，且a＞0，

  所以据根与系数之间的关系得

  1+3＝−

  b

  a

  1×3＝

  3

  a，解得a=1，b=-4，所以f（x）=x2-4x+3．

  （2）若不等式f（x）＜0的解集为（1，3），则1，3是对应方程f（x）=0的两个根，且a＞0，

  所以据根与系数之间的关系得

  1+3＝−

  b

  a

  1×3＝

  c

  a，即c=3a，b=-4a．

  由f（x）＞a3-4a得ax2+bx+c＞a3-4a，即ax2-4ax+3a＞a3-4a，因为a＞0，

  所以不等式等价为x2-4x+3＞a2-4，即x2-4x+7-a2＞0在区间[a，a+1]上恒成立，

  设f（x）=x2-4x+7-a2=（x-2）2+3-a2，对称轴为x=2．

  ①若a+1≤2，即0＜a≤1时，函数在[a，a+1]上单调递减，此时当x=a+1时函数值最小，所以f（a+1）=4-2a，由4-2a＞0，得a＜2，此时0＜a≤1．

  ②若a≤2≤a+1，即1≤a≤2时，当x=2时，函数值最小，所以f（2）=3-a2，由3-a2＞0，得−

  3＜a＜

  3，此时1≤a≤

  3

  点评：

  本题考点： 二次函数的性质．

  考点点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法和一元二次函数的图象和性质，综合性较强，注意进行分类讨论．
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