设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①f（2）=0；②对于任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f

0红0 2023-03-17 05:01

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  0o柳小兔o0

  2023-03-17 06:01

  设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①f（2）=0；②对于任意正实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；③当x＞1时，总有f（x）＜1．（1）求f（1）及f（[1/2]）的值；（2）求证f（x）在（0，+∞）上是减函数．（3）求不等式f（x-1）+f（x-2）＜1的解集．

  解题思路：（1）令a=b=1，则f（1）=1，只需要利用特值得方法即可获得解答；

  （2）要利用好条件③再结合单调性的定义证明即可获得解答

  （3）原不等式转化为（x-1）（x-2）＞2，有定义在（0，+∞），继而求得答案．

  （1）∵f（a）+f（b）-1=f（a•b），令a=b=1，则f（1）=1∵f（2）=0，∴f（1）=f（2×12）=f（2）+f（12）-1=1∴f（12）=2，（2）设0＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=f（x1）-f(x2x1•x1）=f（x1）-f（x2x1）-f（x1）+1=1...

  点评：

  本题考点： 抽象函数及其应用．

  考点点评： 本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了抽象函数特值的思想、函数单调性以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．
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