已知（根号x-2/x平方）的n次方的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.（1）求展开式中各项系数的和；（2

①年㈣个季节 2023-03-19 13:43

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  2023-03-19 14:09

  已知（根号x-2/x平方）的n次方的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

  1

  展开式为关于x的幂函数,

  所以取x=1,可得到展开式中各项系数的和为

  （根号1 - 2/1平方）的n次方

  =(-1)^n

  第五项的系数与第三项的系数的比为

  [C(n)(n-4)·(-2)^4] / [C(n)(n-2)·(-2)^2]

  =[4· C(n)(4)] / [C(n)(2)]

  =4[(n!)/(24·(n-4)!) ] / [(n!)/(2·(n-2)!) ]

  =(n-2)(n-3)/3

  即 (n-2)(n-3)/3 = 10

  n²-5n-24=0

  n为正整数,则解得n=8

  故展开式中各项系数的和(-1)^n=1

  2

  二项式系数最大的项为其中间项：第4项

  C(n)(4) · (根号x)^4 · (-2/x平方)^4 =1120/x^6

  展开式中的项为

  C(8)(t) · (根号x)^t · (-2/x平方)^(8-t)

  其系数为

  C(8)(t) · (-2)^(8-t)

  当t是偶数时,所求的系数才能是最大.

  t的可选范围是0,2,4,6,8

  C(8)(t) 的变化规律是完全对称性的先增后减,

  2^(8-t) 的变化规律是单调递减,

  故t的可选范围调整为0,2,4

  C(8)(0) · (-2)^(8-0)=2^8=256,

  C(8)(2) · (-2)^(8-2)=28×2^6=1792,

  C(n)(4) · (-2)^(n-4)=1120×2^4=17920

  因此展开式中系数最大的项也是第4项：17920/x^6
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