已知函数f(x)是定义在R上的函数且满足f(x+2/3)=-f(x),若x属于(0,3]时,f(x)=lg(3x+1),

__42_mrB 2023-03-19 21:22

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  ___Erst

  2023-03-19 21:55

  已知函数f(x)是定义在R上的函数且满足f(x+2/3)=-f(x),若x属于(0,3]时,f(x)=lg(3x+1),则f（2013）=?

  f(x+3)

  =f[(x+2/3)+2/3]

  =-f(x+2/3)

  =f(x)

  所以T=3

  2013÷3余1

  所以原式=f(1）=lg(3+1)=lg4

  f(x+2/3)=-f(x)

  ∴f(x+4/3)=f[(x+2/3)+2/3]=-f(x+2/3)=f(x)

  ∴f(x)是以T=4/3为周期的函数

  ∴f(2013)=f(6039/3)=f(6036/3 +1)=f(1509×4/3 +1)=f(1509·T+1)=f(1)

  x∈(0,3]时,f(x)=lg(3x+1),

  f(2013)=f(1)=lg4

  对，f（x 3）＝f（x）

  但2013/3＝671正好整除

  所以f（2013）＝f（3）＝1

  f(3) = lg(10)=1

  f(2013) = f(3+ (2/3)3015)

  = -f(3)

  = -1
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