(中值定理)设f(x)在[0,1]上二阶连续可导且f(0)＝f(1),又|f”(x)|≤M……

0海绵和派大星0 2023-03-19 21:34

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  0七夜听雪0

  2023-03-19 22:02

  证明：你的题写错了，应该是：f(1)=1本题考查介质定理和拉格朗日中值定理！∵1/3,2/3∈(0,1)f(x)在[0,1]上连续，∴根据介值定理，∃x1，x2∈(0,1)，使得：f(x1)=1/3f(x2)=2/3又∵f(x)在区间(0,x1),(x1,x2),(x2,1)可导，在[0,x1],[x1,x2],[x2,1]连续，根据拉格朗日中值定理：∃ξ1∈(0,x1)∃ξ2∈(x1,x2)∃ξ3∈(x2,1)使得：f(x1)-f(0)=f'(ξ1)·(x1-0)f(x2)-f(x1)=f'(ξ2)·(x2-x1)f(1)-f(x2)=f'(ξ3)·(1-x2)因此：1/f'(ξ1)=(x1-0)/f(x1)-f(0)=x1/(1/3)=3x11/f'(ξ2)=(x2-x1)/f(x2)-f(x1)=(x2-x1)/(1/3)=3x2-3x11/f'(ξ3)=(1-x2)/f(1)-f(x2)=(1-x2)/(1/3)=3-3x2上述各式相加：1/f'(ξ1)+ 1/f'(ξ2)+ 1/f'(ξ3)=3x1+3x2-3x1+3-3x2=3证毕！想了一个下午，加点分吧！
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