（2011•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=[1/2]，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于

_______亡心忘 2023-03-20 21:37

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  ___梦断不成归

  2023-03-20 22:19

  （2011•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=[1/2]，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

  解题思路：（1）根据在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根据BC=CD，AE=AD求得AE=AC-AD即可．

  （2）根据FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黄金三角形可得∠EAG=∠F=36°．

  （1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=[1/2]，

  得AC=

  12+(

  1

  2)2=

  5

  2，

  ∵以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E

  ∴BC=CD，AE=AD，

  ∴AE=AC-CD=

  5−1

  2；

  （2）∠EAG=36°，理由如下：

  ∵FA=FE=AB=1，AE=

  5−1

  2，

  ∴[AE/FA]=

  5−1

  2，

  ∴△FAE是黄金三角形，

  ∴∠F=36°，∠AEF=72°，

  ∵AE=AG，

  ∴∠EAG=∠F=36°．

  点评：

  本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理．

  考点点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键．
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