已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0），g（x）=ex-x．

③厘米蔚蓝 2023-03-21 05:35

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  ______純銀se

  2023-03-21 05:54

  已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0），g（x）=ex-x．（1）证明：ea＞a；（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

  （1）证明：得g′（x）=ex-1，令g′（x）=0得到x=0

  当x＞0时，g′（x）=ex-1＞1-1=0，

  ∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，

  又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．

  所以，ea-a＞0，即ea＞a．

  （2）因为f′(x)=2x-

  a

  x=

  2x2-a

  x=

  2(x-

  2a

  2)(x+

  2a

  2)

  x．

  当0＜x＜

  2a

  2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

  当x＞

  2a

  2时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

  ∴f(x)min=f(

  2a

  2)=

  a

  2(1-ln

  a

  2)．

  又由（1）得

  a

  2＜a＜ea＜e2a(a≥0，a＜2a)⇒

  2a

  2＜ea，

  且当a＞2e时，

  2a
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