帮忙总结一下和差化积公式,详细一点哦!谢谢了.

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∮狂♀齐⌒

2023-03-21 14:04

帮忙总结一下和差化积公式,详细一点哦!谢谢了.
正弦、余弦的和差化积公式　　指高中数学三角函数部分的一组恒等式　　sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 　　sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 　　cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] 　　cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】　　　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到　　法1　sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程　　因为　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,　　将以上两式的左右两边分别相加,得　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,　　设 α+β=θ,α-β=φ 　　那么　　α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2 　　把α,β的值代入,即得　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 　　法2 　　根据欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx 　　令x=a+b 　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb 　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa编辑本段正切的和差化积　　tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）　　cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) 　　tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) 　　tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 　　证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ 　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) 　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边　　∴等式成立编辑本段注意事项　　在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行.若是异名,必须用诱导公式化为同名；若是高次函数,必须用降幂公式降为一次　　口诀　　正加正,正在前,余加余,余并肩　　正减正,余在前,余减余,负正弦　　反之亦然　　生动的口诀：（和差化积）　　帅+帅=帅哥　　帅-帅=哥帅　　哥+哥=哥哥　　哥-哥=负嫂嫂　　反之亦然编辑本段记忆方法　　和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法.结果乘以2　　这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断.sin和cos的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因此乘以2是必须的.　　也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如：　　cos(α-β)-cos(α+β) 　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] 　　=2sinαsinβ 　　故最后需要乘以2.只有同名三角函数能和差化积　　无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积.这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了.乘积项中的角要除以2　　在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开.熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2,也就是乘积项中角的形式.　　注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”.使用哪两种三角函数的积　　这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名.　　是否同名乘积,仍然要根据证明记忆.注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积.所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积.　　(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时,以cos(α-β)/2的形式出现；反之,以sin(α-β)/2的形式出现.　　由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的.如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2,结果应当是一样的,从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况可以类似说明.余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号　　这是一个特殊情况,完全可以死记下来.　　当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如(0,π]内余弦函数的单调性.因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ.但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号.

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