已知函数f（x）=2+sin2x+cos2x，x∈R．

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∮狂♀齐⌒

2023-03-17 08:48

已知函数f（x）=2+sin2x+cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（2）求函数f（x）的单调增区间．
解题思路：（1）利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）的后两项化为一个角的正弦函数，根据正弦函数取得最大值时角度的值列出关于x的方程，求出方程的解即可得到f（x）取得最大值时x范围，并求出此时的最大值；
（2）根据正弦函数的递增区间，列出（1）得到f（x）的解析式中正弦函数的角度的不等式，化简后即可求出x的范围，即为函数f（x）的单调增区间．
（1）f（x）=2+sin2x+cos2x=2+
2sin(2x+
π
4)，（4分）
∴当2x+
π
4＝2kπ+
π
2，即x＝kπ+
π
8(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+
2．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x＝kπ+
π
8，k∈Z}；（8分）
（2）f(x)＝2+
2sin(2x+
π
4)，
由题意得2kπ−
π
2≤2x+
π
4≤2kπ+
π
2(k∈Z)，
即kπ−
3
8π≤x≤kπ+
π
8(k∈Z)．
因此，f（x）的单调增区间是[kπ−
3π
8，kπ+
π
8](k∈Z)．　…（12分）
点评：
本题考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性．

考点点评：此题考查了三角函数的最值，以及正弦函数的单调性．利用三角函数的恒等变换把f（x）化为一个角的正弦函数是解本题的关键．
(1) 由题知，f(x)=1-cos(2x π/2)-(√3)cos2x
=sin2x-(√3)cos2x 1
=2sin(2x-π/3) 1
由x∈[π/4,π/2]。所以，π/6≤2x-π/3≤2π/3。所以，当2x-π/3=π/2，即x=5π/12时，函数有最大值3；
当2x-π/3=π/6，即x=π/4时，函数有最小值2。
(2)

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