设函数f(x)＝loga1+x1−x(a＞0且a≠1)．

____TA0513 2023-03-21 21:39

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  _Datura丶私欲

  2023-03-21 21:59

  设函数f(x)＝loga1+x1−x(a＞0且a≠1)．（I）求f(m)+f(n)−f(m+n1+mn)的值；（II）若关于x的方程logat(1−x)(2x2−5x+5)＝f(x)在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围．（III）设函数g（x）是函数f（x）的反函数，求证：当a＞1时，nk＝1g(a−k)＜lna2(a−1)(n∈N*)．．

  解题思路：（I）利用对数的运算性质化简f（m）+f（n）的结果等于f(m+n1+mn)，从而得到f(m)+f(n)−f(m+n1+mn)的值．

  （II）把条件等价转化为t=（x+1）（2x2-5x+5）在x∈[0，1）上有实数解，利用导数判断t在x∈[0，1）上是减函数，得t（1）＜t≤t（0），由此解得实数t的取值范围．

  （III）先求出函数g（x），设 G（x）=g（x）-lna2x，（x＞0），利用导数判断G（x） 在[0，+∞）上单调递减，得到g（x）＜lna2x，由此放缩要证得不等式成立．

  （I）∵函数f(x)＝loga

  1+x

  1−x(a＞0且a≠1)，∴f(m)+f(n)−f(

  m+n

  1+mn)=loga

  1+m

  1−m+loga

  1+n

  1−n-f(

  m+n

  1+mn)

  =loga(

  1+m

  1−m•

  1+n

  1−n)-f(

  m+n

  1+mn)=loga(

  1+m+n+mn

  1−m−n+mn)-f(

  m+n

  1+mn)=loga

  1+

  m+n

  1+mn

  1−

  m+n

  1+mn-f(

  m+n

  1+mn)=f(

  m+n

  1+mn)-f(

  m+n

  1+mn)=0．

  （II）∵关于x的方程loga

  t

  (1−x)(2x2−5x+5)＝f(x)在x∈[0，1）上有实数解，

  ∴loga

  t

  (1−x)(2x2−5x+5)=loga

  1+x

  1−x，

  ∴[t

  (1−x)(2x2−5x+5)=

  1+x/1−x] 在x∈[0，1）上有实数解，∴t=（x+1）（2x2-5x+5）在x∈[0，1）上有实数解．

  ∵t′=6x（x-1），x∈[0，1）时，t′＜0，t=（x+1）（2x2-5x+5）在x∈[0，1）上是减函数，

  ∴t（1）＜t≤t（0），解得 4＜t≤5．

  ∴实数t的取值范围为（4，5]．

  （III）函数g（x）是函数f（x）的反函数，f（x）的定义域为（-1，1），求得g（x）=f-1（x）=

  ax−1

  ax+1 （x∈R）．

  设 G（x）=g（x）-[lna/2x，（x＞0），则 G′（x）=g′（x）-

  lna

  2]=

  −(ax−1)2

  (ax+1)2• lna≤0．

  ∵a＞1，∴G（x） 在[0，+∞）上单调递减，当x＞0时，G（x）＜G（0），即 g（x）＜[lna/2x．

  ∴a＞1时，

  n

  k＝1g(a−k)＜

  lna

  2] （[1/a+

  1

  a2+

  1

  a3+…+

  1

  an]）=[lna/2]•

  1−

  1

  an

  a−1＜[lna/2]•[1/a−1]=[lna

  2(a−1)．

  即

  n/

  k＝1g(a−k)＜

  lna

  2(a−1)]，（n∈N*）成立．

  点评：

  本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用；反函数．

  考点点评： 本题主要考查对数的运算性质的应用，求反函数，以及用放缩法证明不等式，属于难题．
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