已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为：3分之根号3,以原点为圆心,椭圆短半轴长半径的圆与直

_Nanjolno_ 2023-03-17 14:21

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  0冥界之主0

  2023-03-17 15:09

  已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为：3分之根号3,以原点为圆心,椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+2相切,则椭圆的方程为多少?

  原点到直线y=x+2的距离为

  |1*0+(-1)*0+2|/√(1^2+1^2)=√2

  所以圆的半径为√2

  b=√2,b^2=2

  e=c/a=√3/3

  c=a√3/3

  a^2=b^2+c^2

  a^2=2+(a√3/3)^2

  a^2=3

  所以椭圆方程为

  x^2/3+y^2/2=1

  直线L:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切

  所以由圆心到直线的距离等于半径可知

  r=c=根号2

  又离心率为 根3/3

  所以

  c/a=根3/3

  解得

  a=根6

  所以

  b2=a2-c2=4

  b=2

  所以椭圆C的方程

  x^2/6+y^2/4=1
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